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Schwächen ordinaler Nutzenmessung

Arrow hat mit seinem Allgemeinen Unmöglichkeits-Theorem gezeigt, dass auf der Grundlage einer nur ordinalen Erfassung der individuellen Nutzen keine einigermaßen akzeptable kollektive Entscheidungsregel existiert, die in jedem Fall zu einer transitiven kollektiven Rangordnung führt.

Diese Schwäche der ordinalen Messung ist jedoch nicht die einzige. Es lässt sich zeigen, dass kollektive Entscheidungsregeln, die nur auf individuellen Rangordnungen beruhen, zu suboptimalem Ergebnissen führen können. "Suboptimal" ist ein Zustand x immer dann, wenn zu x eine Alternative y besteht, die für jeden der Beteiligten besser ist als x.

Im Folgenden soll anhand der Mehrheitsregel demonstriert werden, dass es zu derart suboptimalen Ergebnissen kommen kann, wenn mehrere voneinander unabhängige Einzelentscheidungen getroffen werden. Die Mehrheitsregel besagt: "Es gilt diejenige Alternative als kollektiv gewählt, die im paarweisen Vergleich mit jeder anderen Alternative jeweils von einer Mehrheit vorgezogen wird." Dies ist die sogenannte "Mehrheitsalternative".

Nehmen wir ein einfaches Beispiel.

Angenommen es handelt sich um die 3 Individuen A, B und C, die nacheinander 3 Entscheidungen treffen: Entscheidung 1 zwischen der Alternative x und der Alternative y, Entscheidung 2 zwischen den Alternativen r und s sowie Entscheidung 3 zwischen den Alternativen v und w.

Den Alternativen entsprechen bestimmte fiktive Stückzahlen eines beliebigen Gutes, z. B. Birnen, das die Individuen hinzubekommen (+) oder abgeben müssen (-), wenn die betreffende Alternative gewählt wird. Wenn bei einer Alternative ein Individuum weder etwas hinzubekommt noch etwas abgeben muss, so wird dies durch eine Null ausgedrückt. Dabei wird angenommen, dass jedes Individuum eine größere Menge dieses Gutes einer kleineren Menge vorzieht.

In die Felder der folgenden Tabelle ist jeweils eingetragen, wie viele Gütereinheiten ein bestimmtes Individuum hinzubekommt oder abgeben muss, wenn eine bestimmte Alternative gewählt wird.

Bei der Stückzahlen in den folgenden Tabellen handelt es sich also um naturale Einheiten eines Gutes und nicht um Nutzeneinheiten. Allerdings lassen sich aus diesen Stückzahlen ordinale Präferenzordnungen ablesen, denn für jedes Individuum ist eine größere Stückzahl besser als eine kleinere. Eine interpersonale Vergleichbarkeit ist damit noch nicht vorausgesetzt.

Bei Entscheidung 1 zwischen x und y würde im Falle, dass Alternative x gewählt wird, das Individuum A z. B. weder etwas hinzubekommen noch etwas abgeben müssen. Dies wird durch die Null im obersten Feld der Spalte für das Individuum A ausgedrückt.

Falls Alternative y gewählt würde, müsste Individuum A eine Einheit des Gutes abgeben. Dies wird durch "-1" im zweitobersten Feld der Spalte für das Individuum A ausgedrückt.

Bei der Wahl zwischen x und y zieht Individuum A dementsprechend die Alternative x vor.

Tabelle 1:
   3 Individuen treffen 3 Entscheidungen zwischen jeweils 2 Alternativen
nach dem Mehrheitsprinzip